1 引言
在高壓大容量電力電子應用方面，多電平變換器技術與兩電平變換器相比具有很多優點。例如，可以提高電壓和功率應用等級，而輸出的共模電壓卻較小;在較低的開關頻率下卻具有很好的諧波性能。一般認為，多電平變換器主要有h橋單元串聯型、二極管箝位型、電容箝位型三種典型的結構，其他結構均可以在此基礎上派生得到。在二極管箝位型結構中，已得到廣泛應用的是三電平結構，對于三電平以上更高電壓等級的變換器結構，由于存在pwm控制策略復雜和直流母線電壓平衡等問題而鮮有應用。但是，關于此類多電平pwm控制策略以及電壓平衡基本理論的研究仍非常活躍。文獻[1]提出了一個電壓自平衡拓撲，但所需器件眾多,很難實用。文獻[2]通過加入一個輔助平衡橋臂來間接實現五電平逆變器電壓平衡控制，文獻[3][4]采用各自的pwm算法，得出了二極管箝位四電平逆變器的電容電壓平衡可控范圍，文獻[5]給出了避開不平衡矢量的電壓平衡控制方法,文獻[6]通過近似方法得出了n電平變換器的電壓平衡約束關系。
由于模型的時變和非線性的特點，二極管箝位型多電平變換器電容電壓平衡控制的研究是一個比較棘手的問題，即使采用開關平均模型等方法，也難以得到一個直觀的線性化表達關系，而且電壓平衡和負載情況本身也有很大的關聯。同時，很多冗余的開關狀態使pwm調制策略的研究變得復雜，這也是多電平變換器控制的一個難點所在。因此研究它們的電容電壓平衡規律，對其控制特性和相應的pwm控制策略進行具體分析，間接得到其平衡規律，這對此類變換器的應用具有指導意義。
本文以單一直流電壓源的二極管箝位型五電平逆變器為研究對象,在開關網絡模型的基礎上,首先從輸出開關狀態與分支母線平均電流之間的關系定性分析了電容電壓平衡的范圍。然后對多電平變換器開關切換約束與pwm控制策略進行了深入分析，給出了一種基于目標函數最優的電壓平衡控制策略，并在全負載范圍內，進一步對電容電壓平衡控制的穩定域進行研究，得出了以功率因數和調制比為自變量的電壓平衡域曲線。
2 三相五電平逆變器的數學模型
2.1 開關網絡的數學模型
圖1為三相二極管箝位型五電平逆變器及負載的簡化示意圖，其直流側總電壓為udc。將方框內三相橋臂簡化為一個無儲能環節、無損的理想多端開關網絡，在功能上，此開關網絡可以等效為三組五選一的多路開關。
圖1 三相五電平逆變器及負載示意圖
以最低直流母線為零電位參考點，首先定義s=[sa,sb,sc]t為某瞬時三相開關狀態，且sa,sb,sc∈｛0,1,2,3,4｝，5個數分別對應u0，u1，u2，u3，u4，五個不同的母線電平。定義開關函數
， 
，
l∈｛0,1,2,3,4｝，則此開關網絡的瞬時開關矩陣l可以表示為:
其同相開關函數滿足約束關系：
，而且三相開關狀態與瞬時開關矩陣之間的變換關系為s=l[0 1 2 3 4]t。則此開關網絡的輸入輸出關系可以由電壓及電流關系方程式(1)來表達：
（1）
其中，ua，ub，uc和ia，ib，ic分別為逆變器輸出的三相電壓和電流的瞬時值；u0，u1，u2，u3，u4，為各直流分支母線電平;i0，i1，i2，i3，i4，為直流分支母線電流。設ic1，ic2，ic3，ic4，為電容電流，則對于負載沒有中線的三相系統，電容電流和直流母線電流關系為:
（2）
2.2 周期輸出時電容電壓的平衡條件
由于變換器的輸出為周期函數（設周期為tm），若電容電壓能夠維持動態平衡，則各個儲能電容的電壓平均值
滿足關系:
由電容的電壓和電流關系以及式(2)可以進一步得到另一組條件
,即五電平變換器電容電壓動態平衡時，內分支母線的基波周期平均電流值須為零。考慮到輸出為三相對稱的系統，分支母線電流平均值可表示為:
（3）
3 電容電壓平衡規律分析
許多因素會影響多電平逆變器的直流母線電容電壓。為了突出主要矛盾，設逆變器運行于穩態條件下，即輸出電壓幅值和頻率固定，且開始時電容電壓處于平衡狀態。另外，輸出功率總可以分解為有功和無功兩部分，不失一般性，這里只考慮負載功率因數為1和0兩種極端情況來說明問題。
從圖1中也可以得到逆變器的內分支母線電流與流經各相橋臂分母線電流的周期平均值的關系為: 
,且k＝1,2,3。以一相為例，當
為零時，說明a相橋臂能使電容電壓保持動態平衡。采用這一思路，文獻[7]分別在功率因數為0和1兩種情況下，通過直觀的定性圖解方法，對單個橋臂的內分支母線電流平均值是否為零進行判斷，指出在零功率因數下，五電平橋臂內母線平均電流為零；而功率因數為1時，內母線平均電流不為零。并進一步推論，在三相對稱輸出時，零功率因數下電容電壓能夠平衡；而有功輸出時，逆變器電容電壓不能平衡的直觀結論。但文中并未對有功輸出時，三相變換器的電容電壓變化規律作具體分析。
實際上，在單位功率因數負載三相輸出時，并非任意調制比時電容電壓都不能平衡。文獻[2][4]基于每組三相開關狀態對電容電壓平衡進行了具體分析，這里作進一步的延伸。
3.1 內分支母線電流與三相開關狀態瞬時關系
逆變器穩態運行時,開關網絡的電壓、電流輸入輸出關系可以簡化為方程組:
（4）
（5）
在αβ坐標系下，定義空間矢量
，α=ej2π/3
則變換到該坐標下的開關網絡關系方程為:
（6）
（7）
令負載阻抗為z＝z(cosθ＋jsinθ)，θ為負載功率因數角，則負載方程可以表示為式(8)
（8）
將式（6）（8）代入式（7）得到任一組三相開關狀態下分支母線電流瞬時值的表達式（9）：
（9）
這樣，確定了一組三相開關狀態，就可以計算出任意功率因數下相應的分支母線電流瞬時值。
3.2 單位功率因數下電容電壓平衡分析
在空間矢量圖中，由上一部分式（3）可知，內母線電流平均值可以由參考電壓掃過的任意連續120°扇區所對應的電流瞬時值積分得到，如
可表示為:
（10）
其中，求和項為第k組開關狀態s(k)時的分支母線電流及對應作用時間的乘積，對于
也有相似的表達，這樣就可以定性分析不同矢量的三相開關狀態對分支母線電流平均值的影響。同時，在單位功率因數下，公式（9）簡化為：
（11）
圖2 五電平矢量空間120°扇區及對應開關狀態
在圖2所示αβ坐標下五電平空間矢量連續120°扇區中，原點零矢量、最長矢量（400,440），以及中長矢量（420,240）的開關狀態對應內母線瞬時電流都為零，對中點電流無影響。而其他矢量的開關狀態對應的內母線電流瞬時值則不為零，為了方便分析，將這些矢量按照冗余開關狀態數的不同分組，分別為v1、v2、v3、v4四組。其中v1為無冗余開關狀態的矢量集合，v2為有兩組冗余開關狀態的矢量集合,v3，v4含義相似，如圖2中幾組不同半徑的圓弧區所含矢量。
將矢量組v1、v2、v3、v4分別代入公式（11），結合公式（10）可以分析得到以下結論:
（1）v1和v2矢量組的內母線電流瞬時值總存在同符號非零量，因而不可能使所有內母線平均電流零;而v3和v4矢量組的內母線電流瞬時值總存在符號相異的非零量，這說明能夠通過調整矢量作用的占空比使內母線電流平均值為零。這樣就定性確定了當輸出不同矢量時，內母線平均電流能否為零。
在整個空間矢量圖中，圖3更加直觀的表示出了單位功率因數下，逆變器穩態輸出時不同區域空間矢量與電壓平衡的關系。
圖3 單位功率因數下的空間矢量平衡域簡圖
（2）對于標出的圓形陰影區所覆蓋的矢量，均可以使內母線平均電流為零，說明參考電壓在該區域內，通過合適的pwm算法，可以使電容電壓保持平衡；在靠近外圍劃斜線的區域，圖3中黑點標出的矢量均不能使內母線平均電流為零，說明由這些點合成參考電壓時，電容電壓不能保持平衡，這一區域為電容電壓絕對不平衡區域；而介于這兩部分區域之間的白色區域，當參考電壓落于其中時，電容電壓能否平衡，取決于參考電壓的大小和pwm實現方法。總之，參考電壓越大，電容電壓越難以保持動態平衡。
這一結論是在逆變器運行于穩態輸出時得到的，而且并沒涉及具體pwm算法，因而這也是理想情況下，單位功率因數時的電壓平衡邊界。
當然，逆變器的電壓平衡與pwm算法和電平切換策略直接相關，以下就這一問題進行深入研究，并在此基礎上給出一種目標函數最優的電壓平衡控制方法和基于此方法的進一步的研究結論。
4 變換器開關切換原則與pwm控制策略
和兩電平變換器不同，多電平變換器的可選輸出電平臺階增多，其波形也更接近正弦波。但同時從pwm控制的電壓合成的角度出發，開關狀態眾多，不同電平路徑的換流順序，以及負載對輸出線電壓的dv/dt性能的要求，給pwm控制策略增加了更多的約束條件。
因此，多電平變換器的開關切換原則，對于電容電壓平衡的研究，以及實際的pwm算法設計有指導性的作用。開關切換是否合理，決定了pwm控制算法的可實現性，而這一點在以往的文獻中很少具體提及。
在理想情況下，對五電平逆變器而言，輸出線電壓的單次電平跳變幅值為四分之一母線電壓；同時，變換器單個橋臂的開關切換要求限制兩組以上的開關同時動作，使每個橋臂電平的輸出順序切換，即所謂相電壓單位電平跳變的限制。以下對開關電平的切換原則和pwm算法的設計進行詳細分析。
4.1 線電壓的矢量合成規則[8]
以直流母線單位電平為基值，則輸出電壓ua,ub,uc的取值與開關狀態s相同，把αβ坐標下的二維的空間矢量變換為由逆變器線電壓uab, ubc, uca表示，則與相電壓的關系矩陣為:
（12）
同樣利用上述變換將輸出參考電壓uref的終點用相應的線電壓表示出來，這樣就得到一個全部由線電壓坐標ab-bc-ca形式表示的空間矢量圖，變換后其物理意義很明顯，圖3中每個點為某類開關狀態所對應矢量的終點（以下也簡稱基本矢量），代表了逆變器一組輸出線電壓的瞬時值，其值為介于-4到4的整數，如圖4所示。
圖4 線電壓坐標下的五電平空間矢量圖
在線電壓坐標下的空間矢量圖（圖4）中，很顯然，對于任一參考電壓矢量的終點，由距其最近的3個基本矢量終點合成，保證了輸出線電壓每次電平跳變均為單位電平。最近3個點組成了一個等邊三角形，如圖5所示，它們的作用時間表示為方程組：
(13)
其中，d1，d2，d3為每個采樣周期內的基本矢量對應的占空比。各個占空比的計算可以由小三角形的幾何關系得到，即d1=h1，d2=h2，d3=h3，其中h1,h2,h3為參考電壓矢量的終點到三角形各邊的距離。
4.2 相電壓跳變約束與全部開關序列
選擇與參考電壓矢量 最近的3個頂點可以獲得dv/dt最小的線電壓輸出。但同時每一點可能對應幾個不同的相電壓開關狀態，因此輸出開關序列就可能有多種組合方式。此時，開關序列的選取須滿足變換器輸出的相電壓為單位電平切換，以此確定可行的開關序列。
圖5 三個點和作用時間
圖5中也列出了每點對應的開關狀態，其中，開關序列210-310-320和210-420-431都可以輸出相同的線電壓，但后者并不可取，因為其對應a相橋臂的瞬時跳變大于1，給換流帶來了不利影響。基于這一原則，可以列出全部開關狀態所有的開關序列。表1直觀的排出了所有開關狀態。而且，相鄰的三組開關狀態就構成了一個可行的開關序列，這里共有5組可選開關序列。
表1 三頂點所有開關狀態
考慮到降低開關頻率或者改善輸出諧波性能，在開關周期ts內，開關序列有不同的脈沖排列形式，以開關序列210-310-320為例，以下僅列出一種中心對稱五段式的三相波形排列方式，同時也確定了各相的占空比，如圖6所示。
圖6 開關序列五段式輸出波形
若采用圖6輸出開關波形的排列形式，全部可能的開關序列為下表2所示。對于其他區域的小三角形也有類似的規律，不同的是，隨著輸出的參考電壓的幅值減小，可選開關序列也隨之增多。
表2 全部可行的開關序列及對應輸出占空比
同一個參考電壓矢量可以由不同的輸出開關序列得到，這意味著逆變器輸出相同的線電壓，其在每個橋臂上對應輸出的電平可以有不同的選擇，即分支母線上瞬時的電流路徑會不同，因而對電容的瞬時充放電也就不一樣，這也是三相二極管箝位型多電平變換器電容電壓平衡控制的依據。
5 目標函數最優的電容電壓控制
由于多電平變換器模型的非線性和時變的性質,很難通過數學模型直接來判斷電容電壓是否平衡。這里給出一種最優控制的方法,即選取合適的目標函數,在每個采樣周期ts內,對由全部可行開關序列組成的控制域尋優,使電壓平衡目標函數最小,最終實現逆變器的電壓平衡控制。
上一部分已經對可行開關序列的選取方法進行了分析，以下重點分析最優目標函數的選取。
定義能量函數為
（14）
其中
為第j級電容電壓與平衡點的偏差,且j∈｛1,2,3,4｝。由李雅普諾夫方法，要使能量函數儲能趨向于最小，其一階導數最好小于等于零。
假設負載電流連續，對于實際的數字控制系統，電流由采樣值代替，能量函數的微分具有功率的性質，可以理解為電容電壓吸收的動態功率最小時，能夠最大程度趨向于平衡狀態，即在第k個采樣周期，求目標函數j(k)的最小值。
（15）
因此pwm控制算法的任務就是對本開關周期待發的所有開關序列尋優，使上述目標函數最小，式中電容平均電流的求取可以由前面的數學模型進行開關平均近似而計算得到。
6 電壓平衡域的仿真
應用目標函數最優的控制方法對三相二極管箝位型五電平逆變器進行了仿真。以三相對稱阻感負載時的情況為例，對逆變器的電容電壓平衡進行分析。
圖7 pf=0.01,m=1時母線電壓平衡波形
圖8 pf=0.99,m=0.7時母線電壓不能平衡波形
圖9 pf=0.99,m=0.52電壓平衡時的電容電壓波形
圖10 pf=0.99,m=0.50時的線電壓波形
設定直流母線vdc=540v，平衡時每一級電容電壓為135v，輸出頻率為50hz，開關頻率為4khz，負載阻抗z=10ω，定義調制比
。圖7、8分別為負載功率因數pf=0.01，調制比m=1.0以及pf=0.99，m=0.7時，直流側分支母線電壓波形。圖7的波形表明內母線電平維持在了平衡狀態，而圖8結果表明內母線電平u1,u3在0.5s內就發散，說明電容電壓不能維持平衡。
圖9為接近單位功率因數下，m=0.52時的電容電壓波形，此時電容電壓是平衡的。
另外，圖10為電容電壓平衡時uab線電壓波形。波形表明，采用本文的控制策略,線電壓單次電平跳變被限制在135v。
上述仿真結果表明，負載功率因數很大時，達到電壓平衡的輸出調制比較小，這與前面定性分析結果是一致的。
在全負載范圍內，即pf∈[0,1]和m∈[0,1]時， 進一步對五電平逆變器穩態輸出時的電容電壓平衡規律進行仿真分析。
圖11為由分析結果擬合得到的全負載范圍內的電壓平衡域曲線。即設定分支母線電壓偏差≤5％時，電壓平衡與負載功率因數、輸出調制比的關系曲線。其中陰影部分面積表示逆變器能夠保持電壓平衡的區域；白色區域表示電容電壓不能達到平衡，屬于不穩定的區域。
從圖11中也表明：負載功率因數越高，對輸出調制比的限制越大，在極端情況，單位功率因數時，五電平逆變器的最大調制比僅為0.5左右；而當功率因數為零時，逆變器總是穩定的。這意味著五電平逆變器在應用時負載工況不能超過此限制，否則不可能保持電壓平衡。
圖11 全負載范圍穩態輸出時的電容電壓平衡域
實際上,考率到頻率和輸出電壓幅值動態的變化,和各種情況引起的負載非線性因素，以及逆變器實際輸出不可能三相完全對稱這些條件時，五電平逆變器的電容電壓平衡域會進一步減小。這些情況下分析將更加復雜，本文不作討論。
7 結束語
本文對五電平逆變器的電壓平衡問題進行了深入的分析和研究，明確了逆變器輸出電平的跳變約束以及開關序列的脈沖切換規則，在此基礎上提出了目標函數最優的電壓平衡控制方法。
仿真結果表明：當功率因數接近1時，二極管箝位型五電平逆變器在全部負載范圍內很難使電容電壓保持平衡。因此，單直流電壓源的五電平逆變器無法直接應用于全速度范圍的大功率交流調速領域；但卻可以直接在電力系統電能質量控制等無功領域應用。
為了在中高壓交流調速領域得到應用，二極管箝位型五電平逆變器也可以采用其他派生形式的主電路方案，如對每個電容分別供電的四組整流橋串聯拓撲、前端加入輔助橋臂維持電壓平衡的拓撲，以及背靠背的雙pwm形式的多電平整流加多電平逆變拓撲等[2][7]。
對于五電平以上的其他二極管箝位型多電平變換器，也可以采用文中的分析方法和控制策略，得到的電容電壓平衡的結論也是類似的。
：鞏經理
：13915946763
：南京塞姆泵業有限公司
