2.3 pwm ac/dc變流器離散時間、線性時變模型
該模型是建立在dq同步坐標系[6]或αβ靜止垂直坐標系[7]下的離散時間，線性時變模型，它實際上是把pwm ac/dc變流器描述為分段線性時變模型，將開關變化的時變函數列入到狀態變量線性方程的系數部分。
下面討論該模型的建立。首先考慮無窮大電網通過平衡三相阻抗連接一個理想pwm ac/dc變流器的情況，如圖2所示:
dq坐標系中id和iq可由下式表示:
圖2 簡化直流供電系統示意圖
(23)
(24)
與三相相電壓線電流相互轉換的關系式為:
，
，
(25)
其中:
理想情況下
，即 
，
,對直流側電容正極節點應用kcl定律得:
即: 
(26)
考慮到實際情況下pwm ac/dc變流器有損耗，可近似認為損耗分為兩部分，一部分隨電流的平方值變化，由電感電阻r代表，另一部分認為不變，用電容并聯電阻rdc代表。
實際變流器的開關頻率是有限的，因此比損耗更重要的是考慮變流器端口電壓的建模問題。最直接的方法是在dq坐標系中采用時間平均理論[8]，因此采樣間隔t=nt到t=(n+1)t中的端口電壓可由下式近似表示:
(27)
k為變流器特性常數，
分別是d，q軸占空比，并滿足以下約束條件:
。將(27)代入(23)(24)(26)，并引入狀態變量:
，可得離散時間，線性時變模型:
(28)
其中:
， 
，
在一個采樣周期中均保持不變，并作用于矩陣a(n)t，因而該模型能較好地反映pwm ac/dc變流器開關的離散時間、線性時變特性，并可在適當近似處理后用于指導數字控制器的設計。文獻[7]引入開關函數和空間矢量的概念，建立αβ靜止垂直坐標系下的離散時間，線性時變模型，并增加反映系統電壓幅值相位的變量z1,z2構成增廣矩陣微分方程，可以反映出交直流系統之間的諧振問題。由于nw并不是該系統的輸入變量(i1是負載電流)，并且基波正弦變量已經變成dq坐標系中的直流變量，故該模型也能解釋穩態情況下諧波對基波的影響。同樣由于nw并非系統輸入，因此式(28)給出的離散時間，線性時變模型并沒有給出輸入變量與狀態變量之間的關系，用于數字控制器設計是不夠的。為此可合理假設直流側電容足夠大，在一個采樣周期中電壓保持不變，并對式(28)作一些相應的近似處理，就可以得到系統輸入變量
與狀態變量x之間的關系，從而能夠方便的進行數字控制器的設計。因為主要用于指導數字控制器設計，因此在進行控制器的設計或仿真時，控制量的給定切換時間或仿真速度都取決于采樣周期的大小。
2.4 pwm ac/dc變流器的拉格朗日模型
該模型采用分析力學思想，從能量觀點描述系統的動力學方程，即定義拉格朗日函數
為:
(29)
其中
描述電路系統的磁能，描述電路系統的電場能量，
和
分別表示電荷和電流。pwm ac/dc變流器如圖1所示，考慮el=0的情況，相應的el(euler-lagrange)函數參數為:
(30)
(31)
(32)
(33)
其中d,f分別描述系統電阻耗能和外加電壓力， 
是式(1)定義的開關函數。這幾個參數反映了pwm變流器的拉格朗日動態特性。由el方程:
(34)
定義
，將(29)代入(34)，重寫得到一組
坐標系下的標量微分方程:
(35)
(36)
(37)
(38)
將(30)～(33)代入化簡得到:
(39)
(40)
(41)
(42)
考慮到
，直流側電壓
，代入(39)～(42)，并寫成矩陣形式有:
(43)
其中:
，
，
m是正定矩陣，r是耗散矩陣，j是表征開關之間相互聯系的矩陣，f是電壓源向量。上述模型由于含有表征開關行為的開關函數
而出現了狀態空間的非連續項，為此用時間平均分析法[8]將式(43)中的狀態變量用平均狀態向量替換，開關函數sk用占空比函數dk(取值范圍[0，1])替換，即可得到狀態空間平均模型。式(43)描述的數學模型與用根據基爾霍夫定律列寫電路方程得到的傳統模型是一致的[11][12]。
從能量角度出發對系統進行分析，系統能量守恒方程為:
(44)
式中
是系統的總能量函數，(44)表示系統儲能
加上系統耗散能量
等于系統供給能量
，反對稱矩陣j是無功力。根據無源性理論[13][14]，在輸入不變的情況下，設計控制器根據狀態變量誤差改變阻尼系數r即可改變系統耗散能量，從而改變系統總能量，最終達到期望的穩定狀態。
由于該模型采用分析力學思想從能量觀點描述系統的非線性動力學行為，能夠解釋pwm ac/dc系統的部分非線性動力學行為，但模型仍采用理想開關描述電力電子器件，同時仍然沒有考慮高頻部分的能量流動，因此，將其用于分析高頻域非線性動力學行為的能力有限。采用該模型有利于從能量觀點分析和設計控制控制器，控制目標著眼于使初始狀態與給定狀態之間誤差模型的能量衰減到零，以達到系統狀態過渡到給定狀態的目的:控制手段是調節注入阻尼大小，因此具有響應速度快，調節方便的優點，近來被廣泛應用于控制器設計。從設計控制器角度來看，給定控制量切換的最小時間是一個開關周期。
3 結束語
本文較為詳細的介紹了pwm ac/dc變流器的四種建模方法，以此為基礎分別分析了各種建模方法的優缺點及應用場合，并根據不同的應用角度提出了各模型控制量的切換時間尺度δ:開關函數模型主要用于開關時刻波形仿真，δ定位于開關控制時刻:占空比函數模型用于控制器設計時δ定位于一個開關周期，用于間接電流控制時δ定位于一個交流頻率周期:離散時間、線性時變模型用于數字控制器的設計仿真，δ為一個采樣周期:拉格朗日模型也是主要用于控制器設計，與占空比函數模型類似，δ定位于一個開關周期。總之， 主要取決于模型的用途。從應用角度來講這幾種模型結合起來可以實現對系統進行諧波分析，低頻域非線性動力學行為分析和控制器設計指導的要求，但為了方便控制器的設計及波形方針和諧波分析，這幾種模型都采用了開關過程理想化的近似手段簡化分析，因而它們都不適合用于分析高頻域非線性動力學行為。因此，建立適合高頻域非線性動力學行為分析的模型的主要難點在于如何從動力學行為上更為近似的描述開關過程，即在模型中盡可能保留開關過程的非線性動力學行為特征，同時又不能過于復雜，以至于難以進行物理數學分析，這是一個有待解決的問題。
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